【論理パズル】問題作ってみたから解いてみてくれ！！！【超難問】

作戦タイムで幼女は各自一色ずつ自分の担当の色を決める
帽子をかぶってみんなで集まった際に、自分の担当の色の帽子を見つけた幼女は自分の舌を噛み切って死ぬ
死んだ幼女の帽子の色が自分の担当した色だった場合、その幼女も追って舌を噛み切って死ぬ
残った幼女は逆算して自分の色を割り出す

これの舌を噛み切らないで床に倒れこむバージョンでどう？

3色の帽子と100人の囚人の問題に似てるね
一応解答書いとく

準備として
8つの色に0から7までの数字をつける

このとき、8つの帽子の色の数字の
和を考えると、8で割った余りは
0から7のどれかになる

求める戦略は
8人がそれぞれ0から7の数字を担当し、
余りがその数字であると仮定して
自分の帽子の色を逆算して求める

全員が正しく計算できれば
誰か1人が必ず自分の色を正解できる

≪解答≫
[1]8人の幼女たちはあらかじめ各人に0から7までの通し番号を決め、みな「自分の番号ｊ」を覚えておく。
同様に、帽子のそれぞれの色に対して、0から7までの通し番号を決めておく。
ここまでは「事前の相談」で、会場に入ってからの情報交換ではないから、許されると仮定する。

[2]会場に入ってから、どの幼女も「自分以外の帽子の色の通し番号」を知り、その総和を求める。 その総和には「自分の帽子の通し番号の数」だけは含まれていないので、幼女によって異なる。 ここで、「第ｊ番の幼女が計算した、他の人の帽子の数の総和」を S_j で表すとする。

[3]その後、第ｊ番目の幼女は自分の番号ｊと[2]で計算した S_j との差 j－S_j を計算し、
さらにそれを8で割った余り d_j (最小非負剰余 0≦d_j≦7)を求める。
〈例〉j＝5 について S_5＝19 とすると、
j－S_5＝5－19＝－14
(－14)を8で割った余りは
(－14)÷8＝(商)－2…(余り)2
ゆえに d_5＝2 である。

[4]最後にｊ番の幼女は[3]で算出した数 d_j に対応する色を答える。

≪解説≫
ひとつの具体例を以下に示す。x_jは色の通し番号である。

ｊ......0...1...2...3...4...5...6...7
x_j.....3...2...0...2...5...1...4...3 (S=20)
S_j.....17..18..20..18..15..19..16..17
j-S_j..-17.-17.-18.-15.-11.-14.-10.-10
d_j.....7...7...6...1...5...2...6...6

怪物が勝手に決める数 x_j は、第ｊ番の幼女にはわからない。
また正しい総和も、怪物しか知らない。
見える数だけの和 S_j は、第ｊ番の幼女には見えない x_j だけを除いた総和であるから。
S_j=(真の総和)S－x_j
したがって
j－S_j＝j－(S－x_j)＝x_j－(S－j)
とも表せる。

一方、「Sを8で割った余り」は0以上7以下であるから、どれかのｊと等しい。
例えば上の例では S＝20 なので、これを8で割れば余りは4、したがって j＝4 のとき
　‘(S-j)を8で割った余り’
＝‘(20－4)を8で割った余り’
＝16÷8の余り＝0
であるから、j＝4 のとき
d_4＝‘「4－(S－x_4)」を8で割った余り’
　 ＝‘「x_4－(S－4)」を8で割った余り’
＝x_4－0＝x_4
となる。つまり、通し番号 j＝4 の幼女の予測 d_4 が x_4 と一致することになる。

なお、そのようなｊは1つしかない。だから「必ず誰かは当たる」ことになるが、
「1人しか当たらない」わけでもある。これで確実に全員が解放できることになる。